Page 361 - Dizionario di Filosofia

divenne una delle caratteristiche della scienza alessandrina, i cui principali

esponenti, dopo Euclide, furono Eratostene (III sec. a.C.), Ipparco (II sec. a.C.),
Diocle (secc. II-I a.C.), Erone (I sec a.C.), Menelao (I sec. d.C.), Tolomeo (II sec.
d.C.), Diofanto (III sec. d.C.). La decadenza subentrò repentina: gli Arabi furono il
solo popolo che, almeno parzialmente, coltivò questi studi durante il medioevo.
Bisogna giungere al Rinascimento per assistere a un nuovo sviluppo della geometria
in Occidente.

I primi commentatori di Euclide avevano già espresso dei dubbi non sulla validità,
ma sull’evidenza del postulato delle parallele e si erano sforzati sia di fornirne una
dimostrazione accettabile, sia di sostituirlo con un postulato più intuitivo; il
problema era stato ripreso, in seguito, anche da alcuni matematici arabi. In Europa la
questione sollevò l’interesse soprattutto del padre Saccheri, di Lambert, di Le
Gendre, di Gauss e dei suoi collaboratori. L’insuccesso di ogni tentativo fece
nascere l’idea che questo postulato non fosse dimostrabile tramite ammissioni

semplici e accettabili.
Tale ipotesi fu presto confermata: J. Bolyai e Lobačevskij scoprirono
indipendentemente la possibilità di costruire una geometria tra i cui postulati non
fosse compreso quello di Euclide, che veniva sostituito dal cosiddetto postulato di
Lobačevskij, il quale ammette l’esistenza di due rette parallele a una retta assegnata
passanti per un medesimo punto esterno a essa. Un’ulteriore conferma ai risultati

conseguiti dai due matematici si trovò in un articolo del Diario di Gauss, il quale
aveva già riconosciuto l’esistenza di una siffatta geometria (che fu detta « iperbolica
»), ma l’aveva tenuta celata nel timore di non essere compreso dai contemporanei.
Più tardi, Riemann completò la lista delle geometrie non euclidee con la scoperta
della geometria ellittica, in cui il quinto postulato di Euclide è- sostituito dal
postulato che non esistono rette parallele.
La scoperta delle geometrie non euclidee mise in crisi il significato stesso di questa

scienza e segnò l’inizio di una profonda rivoluzione concettuale nel pensiero
matematico moderno. Infatti la nozione classica di geometria come sistema
assiomatico-deduttivo, in cui a partire dagli assiomi considerati come proprietà
evidenti dello spazio si deducono le proprietà degli enti geometrici, diventa priva di
significato in quanto l’esistenza delle geometrie non euclidee dimostra il carattere

arbitrario e convenzionale dei postulati; in altri termini tali postulati possono essere
suggeriti, ma non imposti dalle nostre esperienze elementari derivate dal mondo che
ci circonda. Dalla constatazione della convenzionalità dei postulati nacque
l’esigenza di accertare l’indipendenza e la compatibilità di tali proposizioni. Tale
indirizzo si sviluppò soprattutto per opera di D. Hilbert, e portò a una completa
chiarificazione dei fondamenti logici della geometria.
I metodi della geometria moderna sono in genere molto diversi da quelli della
geometria elementare e si basano sui procedimenti della geometria analitica fondata

da Pascal e Fermat in cui le proprietà degli enti geometrici sono ricondotte a
proprietà di equazioni e funzioni e quindi sono studiate con i metodi dell’analisi
matematica. Dalla geometria analitica sono sorti nel secolo scorso due importanti