Page 546 - Dizionario di Filosofia

è dovuto a Gauss, cui si deve il famoso Theorema egregium. Esso dimostra che, in

ogni punto di una superficie, la curvatura gaussiana (o totale) è invariante rispetto a
tutte le flessioni senza rotture della superficie stessa. Questo teorema può essere
generalizzato in uno spazio di Riemann a n dimensioni introducendo il tensore di
curvatura. Gli spazi di Riemann, a loro volta, si generalizzano negli spazi di E.
Cartan. La teoria della gravitazione di Einstein trova proprio in un particolare spazio
di Riemann a quattro dimensioni la sua naturale formulazione matematica, sviluppata

in particolare da T. Levi-Civita (1873-1941) nel calcolo differenziale assoluto.
Un indirizzo di ricerca dove invece la geometria trova una sua autonomia dalle altre
scienze ed è trattata direttamente, come la geometria greca, è costituito dalle
geometrie non euclidee. (V. GEOMETRIA.)
• La matematica delle strutture. Occorre osservare che, nel XIX sec., si sono
sviluppate due nuove discipline accanto all’algebra e all’analisi: la logica simbolica
e la teoria degli insiemi. La prima, con G. Boole (1815-1864), E. Schröder (1841-

1902) e G. Frege (1848-1925), almeno inizialmente mirò a ricondurre il processo
del ragionamento logico a un calcolo algebrico; l’algebra a essa corrispondente,
detta algebra di Boole, differiva però sensibilmente dall’algebra classica. La logica
simbolica si diffuse rapidamente, differenziandosi in logica dei predicati, logica
delle classi, logica delle proposizioni, ecc. Con A, N. Whitehead (1861-1947) e B.
Russell (n. 1872), attraverso la loro opera fondamentale Principia mathematica, in

parte già anticipata da G. Peano (1858-1932), la logica simbolica tese a una
trascrizione dell’insieme di tutte le discipline matematiche mediante il solo impiego
dei suoi concetti fondamentali caratteristici e delle sue particolari regole di
costruzione.
Per quel che concerne la teoria degli insiemi va detto che l’algebra, l’analisi e la
stessa geometria si sono servite del concetto di insieme con una libertà e una
generalità sempre crescenti; è quindi naturale l’attenzione che vi dedicò G. Cantor

(1845-1918). Egli espose una teoria generale degli insiemi, la quale si riferisce
soprattutto agli insiemi infiniti che possono essere distinti gli uni dagli altri per
mezzo della loro potenza. Come la logica simbolica, anche la teoria degli insiemi è
in grado di mettere il proprio patrimonio concettuale e i procedimenti sui quali essa
stessa si basa al servizio di un’impostazione unificatrice della matematica.

Ma lo sviluppo dell’una e dell’altra teoria contrastò con un certo numero di
paradossi, che provocarono reazioni diversissime. La più violenta fu quella di L. E.
J. Brouwer (n. 1881), che attaccò la stessa validità della applicazione del
ragionamento matematico e specialmente quella del principio del terzo escluso per
le classi infinite. Égli oppose a quest’ultima un atteggiamento intuizionistico, in virtù
del quale ogni conquista razionale viene eseguita alla luce di un’intuizione
matematica sui generis, intuizione che non ha alcuna garanzia più sicura di se stessa.
Se, in tal modo, possono essere evitati numerosi paradossi, gran parte della

matematica classica (che non si può mettere in dubbio) non può essere edificata.
Hilbert si accinse invece a dimostrare che l’applicazione pratica della matematica
non può essere tale da condurre a risultati contraddittori. Perciò egli propose e si