Page 34 - Keplero. Il cosmo come armonia di movimenti

III legge: Il quadrato del periodo di rivoluzione di un pianeta è
proporzionale al cubo della sua distanza media dal Sole

La terza legge individua la relazione tra la distanza di un pianeta dal Sole e il suo
periodo, cioè il tempo che un pianeta impiega per compiere un intero giro attorno al
Sole. Sin dall’antichità si era cercata una legge che regolasse la dipendenza tra questi
due parametri, tenendo conto che, a mano a mano che ci si allontana dal centro, il
percorso da compiere cresce. Eppure nel sistema tolemaico, con la Terra immobile al
centro, c’erano ben tre corpi celesti, il Sole, Mercurio e Venere, con lo stesso identico
periodo di un anno.

Nel suo capolavoro, il De Revolutionibus orbium coelestium, Copernico aveva
sottolineato che invece nel sistema da lui proposto i periodi crescevano con le distanze.
Ma la legge esatta con cui i parametri crescevano non era semplice da trovare. Intanto
perché finché la Terra è ferma al centro del Sistema solare risulta impossibile misurare
le distanze dei pianeti.

Solo con una Terra che come un’astronave può spostarsi nel cielo,
l’astronomo può compiere osservazioni in momenti e posizioni differenti
e, con la potenza della geometria e del calcolo, ricostruire le distanze
assolute.

Inoltre la relazione cercata non è una proporzionalità diretta, ma una dipendenza con un
inedito esponente frazionario, che la matematica di allora ancora faticava a gestire. La
ricerca richiese a Keplero oltre vent’anni di duro lavoro, una fiducia incrollabile che
una simile legge dovesse esistere, l’utilizzo di modelli ai nostri occhi poco scientifici,
la mole di dati sperimentali di Tycho Brahe. Keplero la pubblica nel testo l’Armonia
del mondo (Harmonices Mundi), perché ai suoi occhi la legge riassume l’intero suo

progetto di raccontare attraverso leggi e proporzioni l’armonia dei fenomeni naturali. E
l’armonia è celata proprio in quello strano esponente, 3/2, lo stesso rapporto con cui i
Pitagorici avevano costruito la scala musicale. La terza legge, come la scriveva
Keplero, è:

T = kR 3/2

dove T è il periodo di rivoluzione di un pianeta, R è la distanza media del pianeta dal
sole e k una costante che dipende dal corpo celeste attorno al quale avviene l’orbita (e

che lo stesso Keplero calcolò).
Oggi la scriviamo in una forma leggermente diversa, ma perfettamente equivalente:

3
2
T /R = k