Page 104 - Fisica per non fisici

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a = v /r (36)

dove v è la velocità con la quale il pianeta gira intorno al Sole e r la sua distanza dal
Sole. Sostituendo le uguaglianze precedenti nell’equazione f = ma abbiamo che per

il pianeta di massa m vale dunque:

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G(Mm/r ) = m(v /r) (37)

Possiamo semplificare questa espressione, eliminando il fattore comune m e
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moltiplicando i due membri dell’uguaglianza per r ottenendo quindi:

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GM = v r (38)

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Da quest’ultima uguaglianza constatiamo che il prodotto v r è lo stesso qualsiasi
pianeta si consideri, poiché esso è comunque uguale al prodotto GM che dipende

unicamente dal valore della costante universale G e dalla massa M del Sole.
Qualsiasi dipendenza dalle caratteristiche del pianeta non compare assolutamente.
A questo punto facciamo un semplice calcolo: che velocità v possiede un pianeta

nella sua rivoluzione intorno al Sole? Evidentemente essa è pari alla lunghezza totale
dell’orbita, cioè 2πr, diviso il periodo di rivoluzione T che è il tempo impiegato a
percorrerla:

v = 2πr/T (39)

Sostituendo nella (38) abbiamo:

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GM/4π = r /T 2 (40)
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cioè proprio la terza legge di Keplero. Infatti il rapporto r /T è lo stesso per tutti i
pianeti in quanto al primo membro della (40) compaiono ancora quantità
assolutamente indipendenti da quale pianeta abbiamo considerato.

Il moto di un ubriaco

Abbiamo parlato del moto di un’automobile, di un aeroplano e anche del moto di
rivoluzione dei pianeti intorno al Sole; movimenti che si svolgono con regolarità al
trascorrere del tempo. Tuttavia, ci capita di osservare intorno a noi moti che invece

non presentano alcuna regolarità. Per esempio, il movimento di un ubriaco! Sto
scherzando? In apparenza sembrerebbe così ma di fatto l’argomento è molto serio,
come vedremo un poco più avanti.