Page 106 - Fisica per non fisici

misurano sempre un metro, lo troveremo a una distanza (in metri) uguale alla radice

quadrata del numero dei passi compiuti. Per esempio, se ogni volta aspettiamo che
quel signore abbia compiuto cento passi, lo troveremo in media a dieci metri dal
lampione; se aspettiamo che ne abbia compiuti quattrocento, egli si troverà in media

a venti metri dal lampione, e così via.

Passiamo ora a calcolare questo valore medio e a tale scopo, piuttosto che cercare di
valutarlo direttamente, calcoliamo il valore medio del quadrato della distanza
percorsa. Una volta trovato questo numero basterà calcolarne la sua radice quadrata

per avere la risposta.
E allora, a un passo avanti di un metro attribuiamo un cambiamento di distanza d
pari a +1 e a un passo indietro, che è sempre di un metro, il valore –1.

Supponiamo dunque che dopo n passi si trovi in media a una distanza dal
lampione che abbiamo indicato brevemente con d(n) e che ancora non conosciamo.
Sì, non conosciamo ancora questa distanza media; tuttavia possiamo essere sicuri che
al passo successivo (cioè dopo n+1 passi) si troverà con uguale probabilità alla
distanza media:

d(n + 1) avanti = d(n) + 1 metro

oppure:

d(n + 1) indietro = d(n) – 1 metro

a seconda che abbia fatto un passo avanti o uno indietro. Per il quadrato di tale

distanza media avremo dunque, con uguale probabilità

2
2
d 2 avanti (n + 1) = [d(n) + metro] = d (n) + 2d(n) + 1

oppure:

2
2
d 2 indietro (n + 1) = [d(n) – metro] = d (n) – 2d(n) + 1

In media avremo allora:

(41)