Page 90 - Un fisico in salotto

Gauss: i bambini si misero al lavoro, senza risultato. Ma un bambino di undici anni

mi rispose dopo pochi secondi: «Professore (non eravamo alle elementari, con il
‘Signor Maestro’), non sono sicuro ma mi sembra che la somma faccia
cinquecentomilacinquecento (500.500)».
Ricordo ancora il cognome di quel bambino: Depecher (forse anche lui di origine
tedesca?). Ero infatti rimasto colpito dalla sua risposta, alla quale era arrivato con lo
stesso ragionamento di Gauss. L’unica differenza rispetto alla storia di Gauss è che

io, tornato a casa, non dovetti rifarmi i conti per verificare la correttezza della
risposta. Già la sapevo!
È arrivato allora il momento di svelare l’arcano.
Gauss ragionò così: mettiamo in riga tutti i numeri, in ordine, da uno a cento; poi,
in corrispondenza, su una riga sotto, mettiamo tutti i numeri in ordine descrescente,
da cento a uno. Adesso sommiamo ciascun numero della riga di sopra con il
corrispondente numero della riga di sotto. Otteniamo ogni volta 101, non c’è dubbio:

1+100, 2+99 e così via.
La somma complessiva dei numeri che abbiamo scritto fa dunque
101×100=10.100; anche in questo caso non ci sono dubbi. Già, ma così facendo
otteniamo il doppio della somma che stiamo cercando. Basta allora dividere per due:
101 per 100 diviso 2 fa 5.050.
Il ragionamento che abbiamo esposto va bene per qualsiasi somma. Quante sono

state allora le strette di mano al party al quale stiamo partecipando? Abbiamo visto
che dobbiamo fare 1+2+3+ ... +97+98+99; e questo vale dunque 99 per 100 diviso
due, che fa 4.950.
E ancora, se dobbiamo sommare per esempio 1+2+3+ ... +95+96+97, perché gli
invitati sono novantotto, cosa otteniamo? Semplicemente 97×98 diviso 2, che fa
4.753.
Una nota, per i più ‘matematici’. La divisione per due potrebbe portare a un

risultato con la virgola; come accade se facciamo sette diviso due, ottenendo 3,5.
Nel nostro caso ciò non si verifica (come d’altra parte deve essere: la somma di
numeri interi non può essere che un numero intero anch’esso), perché dividiamo per
due un numero ottenuto facendo la moltiplicazione di due numeri consecutivi:
100×101 oppure 97×98; e questo prodotto è per forza un numero pari.

In quella occasione della mia supplenza alla scuola media, rimasi impressionato
anche da una bambina, undicenne anche lei, della quale ricordo il cognome: Tucci.
Anche lei mostrò una notevole intelligenza risolvendo questo problema: la mamma
va al mercato e compra 1 chilo di mele e 2 di pere spendendo 5.650 lire. Il giorno
dopo torna al mercato e stavolta compra 2 chili di mele e 3 di pere spendendo 9.100
lire. Quanto costano, al chilo, le mele e le pere?

Si parla di lire perché, a quel tempo, l’euro non esisteva. E poi, chissà se ho
proposto prezzi ragionevoli per allora (quando vivevo in casa dei miei genitori non
andavo al mercato e non avevo idee in proposito)!